Вступ

Теорема Піфагора — це один з найкрасивіших і видатних результатів елементарної математики. Вона стверджує, що сума квадратів катетів прямокутного трикутника дорівнює квадрату гіпотенузи. Ця залежність була відома ще до Піфагора — вавілонці знали про цю залежність близько 5000 років тому. Древні єгиптяни використовували прямокутні трикутники для землемірства і близько 2000 р. до нашої ери вони відкрили простий і дуже відомий трикутник зі сторонами, що відносяться як 3:4:5, який називають єгипетським. Приблизно в той самий час індійці також використовували такі трикутники.

Заслугою Піфагора є те, що він узагальнив цю залежність для всіх прямокутних трикутників приблизно 2500 років тому, тобто вирішив цю задачу в ірраціональних числах.

Зараз розрізняють теорему Піфагора, як вирішення задачі про прямокут­ний трикутник в ірраціональних числах і задачу Піфагора, рішенням якої є прямокутний трикутник з сторонами, які відносяться як цілі числа. Трикутники в останньому випадку називають піфагоровими. Самі ці числа називають піфагоро­вими трійками.

Через те, що вирішеннями цієї задачі є саме цілі числа, вона належить до діофантових рівнянь. Задача Піфагора є підгрунтям для знаменитої останньої теореми Ферма.

Сучасні послідовники вавілонських жерців — астрологи — для пошуку положення планет традиційно застосовують піфагорові трійки. В інших випадках задачу з прямокутним трикутником вирішують в ірраціональних числах. Часто при цьому застосовують калькулятор або комп'ютер. Вирішення цієї задачі в цілих числах виконується, в основному, з учбовою або пізнавальною метою. Іноді деякі нові залежності в послідовностях піфагорових трійок знаходять вчені, які працюють в теорії чисел.

Метою цього дослідження є огляд знань про піфагорові трійки і їхнє впровадження для вирішення практичних задач на комп'ютері.

Всім відомо, що комп'ютер виконує арифметичні операції зовсім точно. Але насправді комп'ютерні обчислення виконуються з деякою похибкою. Так, наприклад, кілька перших кроків піднесення числа до степеня виконуються точно. Але далі одержуються числа з розрядністю, яка не вміщується в розрядність комп'ютера і вони загрубляються через відкидання молодших розрядів резуль­та­ту. Через це деякі обчислення не вдається виконати на комп'ютері з задовіль­ною точністю, навіть використовуючи максимальну розрядність представлення даних.

Задача Піфагора має точні рішення. Тому можна передбачити, що деякі особливості її вирішення і її розв'язків можуть посприяти збільшенню точності виконання на комп'ютері деяких практичних задач.