1. ѕ≥фагоров≥ тр≥йки

Ќехай ц≥л≥ числа a ≥ b означають довжину катет≥в, а c — довжину г≥потенузи. “од≥ зг≥дно з теоремою ѕ≥фагора, a, b ≥ c задовольн¤ють д≥офантове р≥вн¤нн¤:

          a² + b² = c²                             (1)

“р≥йка таких позитивних чисел (a,b,c) називаЇтьс¤ п≥фагоровою тр≥йкою. “аким чином, знаходженн¤ вс≥х п≥фагорових трикутник≥в — це те саме, що знаходженн¤ вс≥х п≥фагорових тр≥йок. ƒ≥йсно, (3,4,5) — це п≥фагорова тр≥йка. “ак ¤к (3n)² +(4n)² = (5n)², то з цього виходить, що (3n,4n,5n) — це також п≥фагорова тр≥йка дл¤ будь-¤кого позитивного n. “ому ≥снуЇ неск≥нчена к≥льк≥сть п≥фагорових тр≥йок.

“аким чином, з одн≥Їњ п≥фагоровоњ тр≥йки можна зробити будь-¤ку к≥ль≠к≥сть таких тр≥йок шл¤хом множенн¤ на n. “р≥йки, у ¤ких елементи Ї взаЇмно простими числами, ¤к наприклад, (3,4,5), називаютьс¤ прим≥тивними п≥фагоровими тр≥йками, тому що решту тр≥йок можна одержати множенн¤м елемент≥в тр≥йки на ц≥л≥ числа.

якщо числа a,b,c Ї дов≥льними ц≥лими числами, наприклад, нульовими або в≥д'Їмними, ¤к≥ в≥дпов≥дають р≥вн¤нню (1), то така тр≥йка називаЇтьс¤ узагальненою п≥фагоровою тр≥йкою.