2. Способи генерації піфагорових трійок
Далі розглянемо відомі способи генерації ефективних піфагорових трійок. Учні Піфагора були першими, хто винайшли простий спосіб генерації піфагорових трійок, використовуючи формулу, частини якої представляють піфагорову трійку:
m2 + (( m2 − 1 )/2)2 = (( m2 + 1 )/2)2,
де m — непарне, m>2. Дійсно,
4m2 + m4 − 2m2 + 1
m2 + (( m2 − 1 )/2)2 = ————————— = (( m2 + 1 )/2)2.
4
Аналогічну формулу запропонував давньогрецький філософ Платон:
(2m)2 + (m2 − 1)2 = (m2 + 1)2,
де m — будь-яке число. Для m = 2,3,4,5 генеруються наступні трійки:
(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).
Як бачимо, ці формули не можуть дати всі можливі примітивні трійки.
Розглянемо наступний поліном, який розкладається на суму поліномів:
(2m2 + 2m + 1)2 = 4m4 + 8m3 + 8m2 + 4m + 1 =
=4m4 + 8m3 + 4m2 + 4m2 + 4m + 1 = (2m(m+1))2 + (2m +1)2.
Звідси наступні формули для одержання примітивних трійок:
a = 2m +1 , b = 2m(m+1) = 2m2 + 2m , c = 2m2 + 2m + 1.
Ці формули генерують трійки, в яких середнє число відрізняється від найбільшого рівно на одиницю, тобто також генеруються не всі можливі трійки. Тут перші трійки дорівнюють: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).
Щоб визначити спосіб генерації всіх примітивних трійок, слід дослідити їхні властивості. По-перше, якщо (a,b,c) — примітивна трійка, то a і b, b і c, а і c — повинні бути взаємно простими. Нехай a і b діляться на d. Тоді a2 + b2 — також ділиться на d. Відповідно, c2 і c повинні ділитись на d. Тобто, цє не є примітивна трійка.
По-друге, серед чисел a, b одне повинне бути парним, а інше — непарним. Дійсно, якщо a і b — парні, то і с буде парним, і числа можна поділити принаймні на 2. Якщо вони обидва непарні, то їх можна представити як 2k+1 i 2l+1, де k,l — деякі числа. Тоді a2 + b2 = 4k2+4k+1+4l2+4l+1, тобто, с2, як і a2 + b2, при діленні на 4 має остачу 2.
Нехай с — будь-яке число, тобто с = 4k+i (i=0,…,3). Тоді с2 = (4k+i)2 має остачу 0 або 1 і не може мати остачу 2. Таким чином, a і b не можуть бути непарними, тобто a2 + b2 = 4k2+4k+4l2+4l+1 і остача від ділення с2 на 4 повинна бути 1, що означає, що с повинне бути непарним.
Таким вимогам до елементів піфагорової трійки задовольняють наступні числа:
a = 2mn, b = m2 − n2, c = m2 + n2 , m > n, (2)
де m і n — взаємно прості з різною парністю. Вперше ці залежності стали відомими з праць Евкліда, який жив 2300 р. тому.
Доведемо справедливість залежностей (2). Нехай а — парне, тоді b i c — непарні. Тоді c + b i c − b — парні. Їх можна представити як c + b = 2u i c − b = 2v, де u,v — деякі цілі числа. Тому
a2 = с2 − b2 = (c + b)(c − b) = 2u·2v = 4uv
і тому (a/2)2 = uv.
Можна довести від супротивного, що u і v — взаємно прості. Нехай u і v — діляться на d. Тоді (c + b) і (c − b) діляться на d. І тому c і b повинні ділитися на d, а це протирічить умові до піфагорової трійки.
Так як uv = (a/2)2 та u і v — взаємно прості, то нескладно довести, що u і v повинні бути квадратами якихось чисел.
Таким чином, є додатні цілі числа m і n , такі що u = m2 і v = n2. Тоді
а2 = 4uv = 4m2n2, так що
а = 2mn; b = u − v = m2 − n2; c = u + v = m2 + n2.
Так як b > 0, то m > n.
Залишилось показати, що m і n мають різну парність. Якщо m і n — парні, то u і v повинні бути парними, а це неможливо, так як вони взаємно прості. Якщо m і n — непарні, то b = m2 − n2 i c = m2 + n2 були б парними, що неможливо, так як c і b — взаємно прості.
Таким чином, будь-яка примітивна піфагорова трійка повинна задовольняти умови (2). При цьому числа m і n називаються генеруючими числами примітивних трійок. Наприклад, нехай маємо примітивну піфагорову трійку (120,119,169). В цьому випадку
а = 120 = 2·12·5, b = 119 = 144 − 25, і c = 144+25=169,
де m = 12, n = 5 — генеруючі числа, 12 > 5; 12 і 5 — взаємно прості і різної парності.
Можна довести зворотнє, що числа m, n за формулами (2) дають примітивну піфагорову трійку (a,b,c). Дійсно,
а2 + b2 = (2mn)2 + (m2 − n2)2 = 4m2n2 + (m4 − 2m2n2 + n4) =
= (m4 + 2m2n2 + n4) = (m2 + n2)2 = c2,
тобто (a,b,c) — піфагорова трійка. Доведемо, що при цьому a,b,c — взаємно прості числа від супротивного. Нехай ці числа діляться на p > 1. Так як m і n мають різну парність, то b i c — непарні, тобто p ≠ 2. Так як р ділить b i c, то р має ділити 2m2 і 2n2 , а це неможливо, так як p ≠ 2. Тому m, n — взаємно прості і a,b,c — теж взаємно прості.
В таблиці 1 показані всі примітивні піфагорові трійки, згенеровані за формулами (2) для m≤10.
Таблиця 1. Примітивні піфагорові трійки для m≤10
| m | n | a | b | c | m | n | a | b | c |
| 2 | 1 | 4 | 3 | 5 | 8 | 1 | 16 | 63 | 65 |
| 3 | 2 | 12 | 5 | 13 | 8 | 3 | 48 | 55 | 73 |
| 4 | 1 | 8 | 15 | 17 | 8 | 5 | 80 | 39 | 89 |
| 4 | 3 | 24 | 7 | 25 | 8 | 7 | 112 | 15 | 113 |
| 5 | 2 | 20 | 21 | 29 | 9 | 2 | 36 | 77 | 85 |
| 5 | 4 | 40 | 9 | 41 | 9 | 4 | 72 | 65 | 97 |
| 6 | 1 | 12 | 35 | 37 | 9 | 8 | 144 | 17 | 145 |
| 6 | 5 | 60 | 11 | 61 | 10 | 1 | 20 | 99 | 101 |
| 7 | 2 | 28 | 45 | 53 | 10 | 3 | 60 | 91 | 109 |
| 7 | 4 | 56 | 33 | 65 | 10 | 7 | 140 | 51 | 149 |
| 7 | 6 | 84 | 13 | 85 | 10 | 9 | 180 | 19 | 181 |
Аналіз цієї таблиці показує наявність наступного ряду закономірностей:
- або a, або b діляться на 3;
- одне з чисел a,b,c ділиться на 5;
- число а ділиться на 4;
- добуток a·b ділиться на 12.
У 1971 р. американські математики Тейган і Хедвін для генерації трійок запропонували такі маловідомі параметри прямокутного трикутника, як його зріст (height) h = c − b i надлишок (success) е = a + b − c. На рис.1. показані ці величини на деякому прямокутному трикутнику.
Рисунок 1. Прямокутний трикутник і його зріст і надлишок
Назва “надлишок” походить від того, що це додаткова дистанція, яку треба пройти по катетах трикутника з однієї вершини в протилежну, якщо не йти по його діагоналі.
Через надлишок і зріст сторони піфагорового трикутника можна виразити як:
e2 e2
a = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h
Не всі комбінації h і e можуть відповідати піфагоровим трикутникам. Для заданого h можливі значення e — це добутки деякого числа d. Це число d має назву приросту і відноситься до h наступним чином: d — це найменше позитивне ціле число, квадрат якого ділиться на 2h. Так як e кратне d, то воно записується як e = kd, де k — позитивне ціле.
За допомогою пар (k,h) можна згенерувати всі піфагорові трикутники, включаючи непримітивні і узагальнені, наступним чином:
(dk)2 (dk)2
a = h + dk, b = dk + ——, c = h + dk + ——, (4)
2h 2h
причому трійка є примітивною, якщо k і h — взаємно прості і якщо h =±q2 при q — непарному.
Крім того, це буде саме піфагорова трійка, якщо k > √2·h/d і h > 0.
Щоб знайти k і h з (a,b,c), виконують наступні дії:
- h = c − b;
- записують h як h = pq2 , де p > 0 i таке, що не є квадратом;
- d = 2pq якщо p — непарне і d = pq , якщо p — парне;
- k = (a − h)/d.
Наприклад, для трійки (8,15,17) маємо h = 17−15 = 2·1, так що p = 2 і q = 1, d = 2, і k = (8 − 2)/2 = 3. Так що ця трійка задається як (k,h) = (3,2).
Для трійки (459,1260,1341) маємо h = 1341 − 1260 = 81, так що p = 1, q = 9 і d = 18, звідси k = (459 − 81)/18 = 21, так що код цієї трійки дорівнює (k,h) = (21, 81).
Задання трійок за допомогою h i k має ряд цікавих властивостей. Параметр k дорівнює
k = 4S/(dP), (5)
де S = ab/2 — площа трикутника, а P = a + b + c — його периметр. Це слідує з рівності eP = 4S, яка виходить з теореми Піфагора.
Для прямокутного трикутника e дорівнює діаметру вписаного в трикутник кола. Це виходить з того, що гіпотенуза с = (а − r)+(b − r) = a + b − 2r, де r — радіус кола. Звідси h = c − b = а − 2r і е = a − h = 2r.
Для h > 0 і k > 0, k є порядковим номером трійок a-b-c в послідовності піфагорових трикутників зі зростом h. З таблиці 2, де представлено кілька варіантів трійок, згенерованих парами h, k, видно, що зі зростанням k зростають величини сторін трикутника. Таким чином, на відміну від класичної нумерації, нумерація парами h, k має більший порядок в послідовностях трійок.
Таблиця 2. Піфагорові трійки, згенеровані парами h, k.
| h | k | a | b | c | h | k | a | b | c |
| 2 | 1 | 4 | 3 | 5 | 3 | 1 | 9 | 12 | 15 |
| 2 | 2 | 6 | 8 | 10 | 3 | 2 | 15 | 36 | 39 |
| 2 | 3 | 8 | 15 | 17 | 3 | 3 | 21 | 72 | 75 |
| 2 | 4 | 10 | 24 | 26 | 3 | 4 | 27 | 120 | 123 |
| 2 | 5 | 12 | 35 | 37 | 3 | 5 | 33 | 180 | 183 |
Для h > 0, d задовольняє нерівність 2√h ≤ d ≤ 2h, в якій нижня границя досягається при p = 1, а верхня — при q = 1. Тому значення d відносно 2√h — це міра того, як число h віддалене від квадрата деякого числа.
|
