3. ѕ≥фагоров≥ тр≥йки ≥ рац≥ональн≥ точки на кол≥

¬чен≥ кажуть, що древн≥ шумери мали знанн¤ про сотн≥, а може, тис¤ч≥ п≥фагорових трикутник≥в. ÷≥ трикутники њм служили не т≥льки ¤к еталон пр¤мого кута, а також дл¤ задаванн¤ р≥зних кут≥в, а кр≥м того — дл¤ веденн¤ розрахунк≥в з рац≥ональними числами, ≥нтерпол¤ц≥њ ≥ррац≥ональних ≥ трансцендентних чисел. ¬ище ми побачили, що елементи п≥фагоровоњ тр≥йки д≥л¤тьс¤ на 2, 3, 5, 12. „и не це Ї одн≥Їю з причин, що древн≥ шумери мали шестидес¤тиричну систему численн¤, в ¤к≥й основа 60 розкладаЇтьс¤ на ц≥ множники?

≤ 60-хвилинну годину, ≥ коло, под≥лене на 60Ј6 градус≥в ми маЇмо ¤к спадщину в≥д древн≥х шумер≥в. ¬ ун≥верситет≥  олумб≥йського ун≥верситету збер≥гаЇтьс¤ пл≥мптоновська колекц≥¤ глин¤них табличок, в≥к ¤ких приблизно 4000 р. ¬ одн≥й з табличок записан≥ прим≥тивн≥ п≥фагоров≥ тр≥йки, ¤к≥ впор¤дкован≥ по зростанню меншого кута трикутника. ‘отограф≥¤ ц≥Їњ таблички показана нижче. ™ г≥потеза, що це частина повноњ таблиц≥ дл¤ задаванн¤ кут≥в в≥д 1∞ до 45∞ з розд≥ленн¤м в один градус. Ќаприклад, кут 44∞ задаЇтьс¤ ¤к тр≥йка (3367,3456,4825) з похибкою 0,25∞.

 оло з одиничним рад≥усом можна задати не¤вно р≥вн¤нн¤м:

          x² + y² = 1.

–ац≥ональн≥ точки на кол≥ це так≥ точки, координати ¤ких x,y Ї рац≥ональними числами. Ќаприклад, точки (3/5, 4/5), (0,1), (−5/13,12/13) Ї рац≥ональними точками, а (1/2, √3 /2) — не Ї рац≥ональною точкою. ÷≥ точки в≥дм≥чен≥ на рис.2.

–исунок 2. –ац≥ональн≥ точки на кол≥ одиничного рад≥уса

–ац≥ональна точка (a/c,b/c) на кол≥ Ї ц≥лочисельним р≥шенн¤м р≥вн¤нн¤ (1). ÷е означаЇ, що вона в≥дпов≥даЇ де¤к≥й п≥фагоров≥й тр≥йц≥ (a,b,c), точн≥ше — узагальнен≥й п≥фагоров≥й тр≥йц≥, так ¤к а,b можуть бути також нульовими ≥ в≥д'Їмними. ѕричому прим≥тивна тр≥йка, ≥ тр≥йка, ¤ка в≥др≥зн¤Їтьс¤ в≥д нењ лише масштабом своњх елемент≥в, представл¤ють одну ≥ ту саму точку на кол≥. « ≥ншого боку, тр≥йки (a,b,c) ≥ (b,а,c) тут вважаютьс¤ р≥зними тр≥йками, бо представл¤ють р≥зн≥ точки на кол≥.

” п≥фагоровому трикутнику можна встановити наступн≥ тригонометричн≥ залежност≥ (див. рис.2):

          b/c = cos α; a/c = sin α; с/b = sec α; a/b = tg α; b/a = ctg α;                   (6)
          arctg(a/b) = arcsin(a/c) = α.

«г≥дно з формулою подвоЇних кут≥в, ¤кщо маЇмо тангенс кута α п≥фагорового трикутника, то можна знайти в≥дношенн¤ b₂/a₂ дл¤ п≥фагорового трикутника з подв≥йним кутом:

         b₂                       2tgα                2b/a               2ab
         — =  tg2α  = ———— = ————— = ————.                   (7)
         a₂                   1 − tg²α       1 − b²/a²         a² − b²

Ќаприклад, кут трикутника з тр≥йкою (35,12,37) приблизно дор≥внюЇ α = 2π/19 з точн≥стю 0,4Ј10⁻³. «найдемо п≥фагорову тр≥йку дл¤ 2α = 4π/19 за формулою (7):

          b/a = 2Ј35Ј12/(35² − 12²) = 840/1081;  с = √(840² + 1081²) = 1369.

јналог≥чно можна знайти тангенс половинного кута:

           b_½                  1 − cosα        1 − b/c        c − b
         —— =  tgα  = ———— = ———— = ———.
           a_½                       sinα               a/c               a

якщо Ї два п≥фагоров≥ трикутники з кутами α ≥ β, ¤к≥ задан≥ тр≥йками (a₁,b₁,c₁), (a₂,b₂,c₂), то можна створити трикутники з кутами α ± β, викорис≠товуючи формули додаванн¤ кут≥в:

                                                                               a₁b₂     b₁a₂     a₁b₂ ± b₁a₂
          a/c = sin(α±β) = sinαЈcosβ ± cosαЈsinβ = —— ± —— = —————;
                                                                               c₁c₂      c₁c₂           c₁c₂
                                                                                                                                     (8)
                                                                                 b₁b₂     a₁a₂     b₁b₂ a₁a₂
          b/c = cos(α±β) = cosαЈcosβ sinαЈsinβ = —— —— = —————.
                                                                                 c₁c₂      c₁c₂           c₁c₂

¬ результат≥ додаванн¤ кут≥в завжди одержуютьс¤ ц≥л≥ числа, тобто також п≥фагорова тр≥йка.

Ќаприклад, Ї дв≥ тр≥йки: (3,4,5) ≥ (7,24,25), ¤к≥ мають кути α = 36,87∞ ≥ β = 16,26∞, в≥дпов≥дно. ѕри додаванн≥ кут≥в одержимо

          a/c =(3Ј24 + 4Ј7)/(5Ј25) = 100/125 = 4/5;
          b/c =(4Ј24 − 3Ј7)/(5Ј25) = 75/125 =3/5;

тобто це — тр≥йка (4,3,5), ¤к≥й в≥дпов≥даЇ кут α + β = 53,13∞. “аким чином, п≥сл¤ додаванн¤ кут≥в одержали трикутник (рис.2), ¤кий також Ї п≥фагоровим.

Ќеважко довести, що можна виконувати посл≥довн≥ додаванн¤ кут≥в будь-¤ку к≥льк≥сть раз≥в. ѕричому додаванн¤ кут≥в можна виконувати в дов≥льному пор¤дку, взаЇмно м≥н¤ючи л≥в≥ ≥ прав≥ множники в формулах (8).

якщо в≥д кута α в≥дн¤ти його самого, то

          a/c =(3Ј4 − 4Ј3)/(5Ј5) = 0/25 = 0;
          b/c =(4Ј4 + 3Ј3)/(5Ј5) = 25/25 = 1/1.

ќдержана узагальнена тр≥йка (0,1,1) маЇ нульовий кут. якщо до будь-¤кого кута додавати нульовий кут, то одержимо той самий кут:

                     a Ј1      b Ј0       a
          a/c = —— + —— = —;
                     c Ј1       c Ј1       c

                     b Ј1      a Ј0       b
          b/c = —— + —— = —.
                     c Ј1       c Ј1       c

ƒл¤ кожноњ узагальненоњ п≥фагоровоњ тр≥йки (a,b,c) з кутом α завжди можна знайти в≥дпов≥дну тр≥йку (−a,b,c) з в≥д'Їмним кутом − α. ѕричому, ¤кщо скласти ц≥ два кути, то одержимо тр≥йку з нульовим кутом:

                                                ab − ba
          a/c = sin(α+(− α )) = ———— = 0;
                                                     cc
                                                 bb + aa        c²    1
          b/c = cos(α+(− α )) = ———— = — = —.
                                                      cc            c²     1

—кладаючи докупи в≥домост≥ про п≥фагоров≥ тр≥йки, можна викласти наступн≥ твердженн¤.

1. Ќад узагальненими п≥фагоровими тр≥йками визначена операц≥¤ (8) додаванн¤ кут≥в, або додаванн¤ тр≥йок, ¤ку можна зобразити ¤к наступну:
   
   (a,b,c) = (a₁,b₁,c₁) (a₂,b₂,c₂),
   
   причому, результатом операц≥њ Ї також п≥фагорова тр≥йка.
2. ≤снуЇ тр≥йка з нульовим кутом (0,1,1), додаванн¤ ¤коњ до будь-¤коњ тр≥йки даЇ ту ж саму тр≥йку: (a,b,c) (0,1,1) = (a,b,c). ÷е, так званий, нульовий елемент множини п≥фагорових тр≥йок, або нульова тр≥йка.
3. ƒл¤ кожноњ тр≥йки (a,b,c) знайдетьс¤ тр≥йка з протилежним кутом (−a,b,c), додаванн¤ ¤коњ даЇ нульову тр≥йку: (a,b,c) (−a,b,c) = (0,1,1).
4. ќперац≥¤ додаванн¤ Ї асоциативною:
   
   ((a₁,b₁,c₁) (a₂,b₂,c₂)) (a₃,b₃,c₃) = (a₁,b₁,c₁) ((a₂,b₂,c₂) (a₃,b₃,c₃));
   
   ≥ комутативною:
   
   (a₁,b₁,c₁) (a₂,b₂,c₂) = (a₂,b₂,c₂) (a₁,b₁,c₁) .

“аким чином, зг≥дно з теор≥Їю алгебрањчних систем, вищеприведен≥ твердженн¤ св≥дчать, що узагальнен≥ п≥фагоров≥ тр≥йки ≥ операц≥¤ њх додаванн¤ формують алгебрањчну групу, точн≥ше — абелеву групу. ÷ю групу можна використати в практичних обчисленн¤х, що розгл¤немо нижче.