Вступление

Теорема Пифагора — это один из самых красивых и выдающихся результатов элементарной математики. Она утверждает, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равняется квадрату гипотенузы. Эта зависимость была известна еще до Пифагора — вавилоняне знали об этой зависимости около 5000 лет назад. Древние египтяне использовали прямоугольные треугольники для землемерства и около 2000 г. до нашей эры они открыли простой и очень известный треугольник со сторонами, которые относятся как 3:4:5. Такой треугольник называют египетским. Приблизительно в то же самое время индийцы также использовали такие треугольники.

Заслугой Пифагора является то, что он обобщил эту зависимость для всех прямоугольных треугольников приблизительно 2500 лет назад, то есть решил эту задачу в иррациональных числах.

Сейчас различают теорему Пифагора, как решение задачи о прямоуголь­ном треугольнике в иррациональных числах и задачу Пифагора, решением которой является прямоугольный треугольник со сторонами, которые относятся как целые числа. Треугольники в последнем случае называют пифагоровыми. Сами эти числа называют пифагоро­выми тройками.

Из-за того, что решениями этой задачи являются именно целые числа, она принадлежит к диофантовым уравнениям. Задача Пифагора является почвой для знаменитой последней теоремы Ферма.

Современные последователи вавилонских жрецов — астрологи — для поиска положения планет традиционно используют пифагоровы тройки. В остальных случаях задачу с прямоугольным треугольником решают в иррациональных числах. Часто при этом применяют калькулятор или компьютер. Решение этой задачи в целых числах выполняется, в основном, с учебной или познавательльной целью. Иногда некоторые новые зависимости в последовательностях пифагоровых троек находят ученые, которые работают в теории чисел.

Целью этого исследования является обзор знаний о пифагоровых тройках и их внедрении для решения практических задач на компьютере.

Всем известно, что компьютер выполняет арифметические операции совсем точно. Но на самом деле компьютерные вычисления выполняются с некоторой погрешностью. Так, например, несколько первых шагов возведения числа в степень выполняются точно. Но дальше получаются числа с разрядностью, которая не вмещается в разрядность компьютера и они усекаются из-за отбрасывания младших разрядов резуль­та­та. Из-за этого некоторые вычисления не удается выполнить на компьютере с удовлетворительной точностью, даже используя максимальную разрядность представления данных.

Задача Пифагора имеет точные решения. Поэтому можно предусмотреть, что некоторые особенности ее решения и ее результатов могут способствовать увеличению точности выполнения на компьютере некоторых практических задач.