О содержании работы

Теорема Пифагора — это один из самых красивых и выдающихся результатов элементарной математики. Если решением теоремы Пифагора является прямоугольный треугольник со сторонами, которые относятся как целые числа, то такой треугольник называют пифагоровым. Сами эти числа называют пифагоро­выми тройками.

Целью исследования является обзор знаний о пифагоровых тройках и применение их для решения практических задач на компьютере. При этом можно увеличить точность вычислений благодаря тому, что задача Пифагора имеет точные решения.

Рациональные точки на окружности — это такие точки, координаты которых x,y являются рациональными числами, которые удовлетворяют уравнение:

          x² + y² = 1.

Такая точка соответствует некоторой пифагоровой тройке (a,b,c), причем

          х = b/c = cos α; у = a/c =sin α.

Если есть треугольники с углами α и β, которые заданы тройками (a₁,b₁,c₁), (a₂,b₂,c₂), то можно создать треугольники с углами α±β, используя формулы:
                                                                                 a₁b₂ ± b₁a₂
          a/c = sin(α±β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ = ——————;
                                                                                       c₁c₂

                                                                                   b₁b₂a₁a₂
          b/c = cos(α±β) = cosα·cosβ sinα·sinβ = ——————.
                                                                                       c₁c₂

Разработан алгоритм и программа нахождения пифагоровых троек, которые дают углы, которые приближаются к заданному углу с необходимой точностью.

Разработаны и проверены экспериментальные программы, которые предназначены для вычисления таблиц тригонометрических функций и которые используют операцию сложения углов при представлении данных целыми числами. Оценены погрешности вычислений в этих программах и показано, что использование операции сложения углов пифагоровых троек дает возможность существенно уменьшить погрешности вычислений.

Предложен ряд задач с их решениями, которые основаны на свойствах пифагоровых троек.