6. Задачи с пифагоровыми тройками

Ниже приведены несколько задач, которые основаны на построении фигур из треугольников из спичек. Спичка здесь — эталон длины и, таким образом, прямые, выложенные ими, имеют целочисленную длину.

Задача 1. Построить из спичек прямоугольный треугольник (a,b,c) с катетом из c = 10 спичек.
Решение. В соответствии с (2), заданный катет — четное число, то есть a = 2mn, где m и n, m > n — взаимно простые. Возможна единственная комбинация m и n — это 5 и 1, так как 2·5·1 = 10. Остальные стороны равняются b = m² − n² = 24, c = m² + n² = 26. Таким образом, ответ — это треугольник с тройкой (10,24,26).

Задача 2. Построить из спичек разносторонний треугольник с высотой 12.
Решение. Этот треугольник состоит из двух прямоугольных треугольников с одним общим катетом. Среди примитивных пифагоровых треугольников двух таких треугольников нет, так как один из катетов — четной длины, а второй — нечетной и в ряду примитивных пифагоровых треугольников нет таких с одинаковыми одноименными катетами. Но можно выбрать два примитивных треугольника, или тот же самый треугольник и умножить тройки так, чтобы получить наименьшее общее кратное двух катетов, которое равняется 12. Например, взять тройки (3,4,5) и (4,3,5), первую умножить на 4, а вторую — на 3, получим (12,16,20) и (12,9,15). Ответ — треугольник со сторонами 20, 15 и 16 + 9 = 25 с высотой 12 спичек.

Другой вариант решения — тройки (12,5,17) и (4·3, 3·3, 5·3), которые дают треугольник со сторонами 17, 15 и 5 + 9 = 14 с высотой 12 спичек.

Оба решения показаны на рис. 7.

                                    а                                                                      б

Рисунок 7. Треугольники с целочисленными сторонами и высотой

Задача 3. Построить из 60 спичек прямоугольный треугольник с максимальной площадью.
Решение. Площадь прямоугольного треугольника — S = ab/2, а его периметр — P = a + b + c ≤ 60. Прежде всего, можно заметить, что периметр египетскoго треугольника равняется 12 и если его стороны умножить на 5, то получим пифагорову тройку (15,20,25) с периметром 60 и площадью S = 150. Если не найти лучшего треугольника, то это будет решением.

Пусть в треугольнике катеты а = р − q и b = p + q. Тогда S = (р² − q²)/2 — максимальная, если q ≈ 0, то есть, когда a ≈ b. Отсюда можно оценить гипотенузу в c ≈ √2 а и периметр (2 + √2 )а ≈ Р . Поэтому а·b/2 ≈ 153 > S.

Из выражения (5) следует, что для пифагоровых треугольников 4S делится нацело на dP, причем d — четное. Поэтому 2S должно делиться нацело на P. Это значит, что площадь может быть S = 3Р/2 = 150 или S = 2Р = 120. Как видим, тройка (12,16,20) дает максимальную площадь S = 150 и поэтому является решением.

Задача 4. Построить из спичек прямоугольный треугольник с углом 30°.
Решение. Такой треугольник построить нельзя, так как одна из сторон будет иметь длину, вираженную иррациональным числом. Если а = k, с = 2k, то b = √3 k.

Можно сложить треугольник с углом, который приблизительно равняется 30°. Это, например, пифагорова тройка (8,15,17), которая задает этот угол с погрешностью 2°, а тройка (120,209,241) — с погрешностью 0,14°.

Задача 5. Сложить прямоугольный треугольник из спичек вокруг консервной банки, в диаметр которой вкладывается ровно 4 спички.
Решение. Диаметр вписаной окружности в пифагоров треугольник равняется его излишку е, то есть е = 4. Выберем рост треугольника h = 1. Тогда по формулам (3) получим а = h + e = 1 + 4 = 5, b = e + e²/(2h) = 4 + 16/2 = 12, c = b + h = 13. Другое решение при h = 2 будет а = 6, b = 8, c = 10. Еще одним ростом может быть h = 4. Тогда а = 8, b = 6, c = 10, то есть это предыдущее решение. Аналогично получим первое решение, если h = 8. Ответ: (5, 12, 13) или (6,8,10).

Задача 6. Раскроить материал для четырехугольного ромбовидного змея, вот такого: , чтобы все его стороны и внутренние планки, которые перекрещиваются под прямым углом, были длиной в целое количество сантиметров.
Решение состоит в решении задачи 2 и в умножении сторон полученных треугольников на целое число.