6. Задачі з піфагоровими трійками

Нижче приведені кілька задач, які основані на побудові фігур з трикутників з сірників. Сірник тут — еталон довжини і, таким чином, прямі, викладені ними, мають цілочисельну довжину.

Задача 1. Побудувати з сірників прямокутний трикутник (a,b,c) з катетом з c = 10 сірників.
Розв'язок. Згідно з (2), заданий катет — парне число, тобто a = 2mn, де m і n, m > n — взаємно прості. Можлива єдина комбінація m і n — це 5 і 1, так як 2·5·1 = 10. Решта сторін дорівнює b = m² − n² = 24, c = m² + n² = 26. Таким чином, відповідь — це трикутник з трійкою (10,24,26).

Задача 2. Побудувати з сірників різносторонній трикутник з висотою 12.
Розв'язок. Такий трикутник складається з двох прямокутних трикутників з одним спільним катетом. Серед примітивних піфагорових трикутників двох таких трикутників немає, так як один з катетів — парної довжини, а другий — непарної і в ряду таких трикутників немає таких з однаковими однойменними катетами. Але можна вибрати два примітивних трикутника, або той самий трикутник і помножити трійки так, щоб одержати найменше спільне кратне двох катетів, що дорівнює 12. Наприклад, взяти трійки (3,4,5) і (4,3,5), першу помножити на 4, а другу — на 3, одержимо (12,16,20) і (12,9,15). Відповідь — трикутник зі сторонами 20, 15 і 16 + 9 = 25 з висотою 12 сірників.

Інший варіант розв'язку — трійки (12,5,17) і (4·3, 3·3, 5·3), які дають трикутник зі сторонами 17, 15 і 5 + 9 = 14 з висотою 12 сірників.

Обидва розв'язки показано на рис. 7.

                                    а                                                                      б

Рисунок 7. Трикутники з цілочисельними сторонами і висотою

Задача 3. Побудувати з 60 сірників прямокутний трикутник з максимальною площею.
Розв'язок. Площа прямокутного трикутника — S = ab/2, а його периметр — P = a + b + c ≤ 60. Перш за все, можна помітити, що периметр єгипетськoго трикутника є 12 і якщо його сторони помножити на 5, то одержимо піфагорову трійку (15,20,25) з периметром 60 і площею S = 150. Якщо не знайти кращого трикутника, то це буде розв'язком.

Нехай в трикутнику катети а = р − q i b = p + q. Тоді S = (р² − q²)/2 — максимальна, якщо q ≈ 0, тобто, коли a ≈ b. Звідси можна оцінити гіпотенузу в c ≈ √2 а і периметр (2 + √2 )а ≈ Р . Тому а·b/2 ≈ 153 > S.

З виразу (5) слідує, що для піфагорових трикутників 4S ділиться націло на dP, причому d — парне. Тому 2S повинне ділитись націло на P. Це означає, що площа може бути S = 3Р/2 = 150 або S = 2Р = 120. Як бачимо, трійка (12,16,20) дає максимальну площу S = 150 і тому є розв'язком.

Задача 4. Побудувати з сірників прямокутний трикутник з кутом 30°.
Розв'язок. Такий трикутник побудувати не можна, так як одна зі сторін матиме довжину, виражену ірраціональним числом. Якщо а = k, с = 2k, то b = √3 k.

Можна скласти трикутник з кутом, який приблизно дорівнює 30°. Це, наприклад, піфагорова трійка (8,15,17), яка задає цей кут з похибкою 2°, а трійка (120,209,241) — з похибкою 0,14°.

Задача 5. Скласти прямокутний трикутник з сірників навколо бляшанки, в діаметр якої вкладається рівно 4 сірники.
Розв'язок. Діаметр вписаного кола в піфагорів трикутник дорівнює його надлишку е, тобто е = 4. Виберемо зріст трикутника h = 1. Тоді за формулами (3) одержимо а = h + e = 1 + 4 = 5, b = e + e²/(2h) = 4 + 16/2 = 12, c = b + h = 13. Інший розв'язок при h = 2 буде а = 6, b = 8, c = 10. Ще одним зростом може бути h = 4. Тоді а = 8, b = 6, c = 10, тобто це попереднє рішення. Аналогічно одержим перше рішення, якщо h = 8. Відповідь: (5, 12, 13) або (6,8,10).

Задача 6. Розкроїти матеріал для чотирикутного ромбовидного змія, ось такого: , щоб усі його сторони і внутрішні планки, що перехрещуються під прямим кутом, були довжиною в цілу кількість сантиметрів.
Розв'язок полягає в розв'язуванні задачі 2 і в множенні сторін одержаних трикутників на ціле число.