3. Пифагоровы тройки и рациональные точки на окружности

Ученые говорят, что древние шумеры имели знания о сотнях, а может, тысячах пифагоровых треугольников. Эти треугольники им служили не только как эталон прямого угла, но также для задания разных углов, а кроме того — для ведения рассчетов с рациональными числами, интерполяции иррациональных и трансцендентных чисел. Выше мы увидели, что элементы пифагоровой тройки делятся на 2, 3, 5, 12. Не есть ли это одной из причин, что древние шумеры имели шестидесятичную систему числения, в которой основа 60 розкладывается на эти сомножители?

И 60-минутный час, и окружность, поделенную на 60·6 градусов мы имеем как наследие от древних шумеров. В университете колумбийского университета хранится плимптоновская колекция глиняных табличек, возраст которых приблизительно 4000 лет. В одной из табличек записаны примитивные пифагоровы тройки, которые упорядочены по возрастанию меньшего угла треугольника. Фотография этой таблички показана ниже. Есть гипотеза, что это часть полной таблицы для задания углов от 1° к 45° с разделением в один градус. Например, угол 44° задается как тройка (3367,3456,4825) с погрешностью 0,25°.

Окружность с единичным радиусом можно задать неявно равенством:

          x² + y² = 1.

Рациональные точки на окружности это такие точки, координаты которых x,y являются рациональными числами. Например, точки (3/5, 4/5), (0,1), (−5/13,12/13) являются рациональными точками, а (1/2, √3 /2) — не является рациональной точкой. Эти точки отмечены на рис.2.

Рисунок 2. Рациональные точки на окружности единичного радиуса

Рациональная точка (a/c,b/c) на окружности является целочисленным решением уравнения (1). Это значит, что она отвечает некоторой пифагоровой тройке (a,b,c), точнее — обобщенной пифагоровой тройке, так как а,b могут быть также нулевыми и отрицательными. Причем примитивная тройка, и тройка, которая отличается от нее лишь масштабом своих элементов, представляют одну и ту же точку на окружности. С другой стороны, тройки (a,b,c) и (b,а,c) тут считаются разными тройками, потому что представляют разные точки на окружности.

В пифагоровом треугольнике можно установить следующие тригонометрические зависимости (см. рис.2):

          b/c = cos α; a/c = sin α; с/b = sec α; a/b = tg α; b/a = ctg α;                   (6)
          arctg(a/b) = arcsin(a/c) = α.

В соответствии с формулой удвоенных углов, если имеем тангенс угла α пифагорового треугольника, то можно найти отношение b₂/a₂ для пифагорового треугольника с удвоенным углом:

         b₂                       2tgα                2b/a               2ab
         — =  tg2α  = ———— = ————— = ————.                   (7)
         a₂                   1 − tg²α       1 − b²/a²         a² − b²

Например, угол треугольника с тройкой (35,12,37) приблизительно равняется α = 2π/19 с точностью 0,4·10⁻³. Найдем пифагорову тройку для 2α = 4π/19 по формуле (7):

          b/a = 2·35·12/(35² − 12²) = 840/1081;  с = √(840² + 1081²) = 1369.

Аналогично можно найти тангенс половинного угла:

           b_½                  1 − cosα        1 − b/c        c − b
         —— =  tgα  = ———— = ———— = ———.
           a_½                       sinα               a/c               a

Если есть два пифагоровых треугольника с углами α и β, которые заданы тройками (a₁,b₁,c₁), (a₂,b₂,c₂), то можно создать треугольники с углами α ± β, используя формулы сложения углов:

                                                                               a₁b₂     b₁a₂     a₁b₂ ± b₁a₂
          a/c = sin(α±β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ = —— ± —— = —————;
                                                                               c₁c₂      c₁c₂           c₁c₂
                                                                                                                                     (8)
                                                                                 b₁b₂     a₁a₂     b₁b₂ a₁a₂
          b/c = cos(α±β) = cosα·cosβ sinα·sinβ = —— —— = —————.
                                                                                 c₁c₂      c₁c₂           c₁c₂

В результате сложения углов всегда получаются целые числа, то есть также пифагорова тройка.

Например, есть две тройки: (3,4,5) и (7,24,25), которые имеют углы α = 36,87° и β = 16,26°, соответственно. При сложении углов получим

          a/c =(3·24 + 4·7)/(5·25) = 100/125 = 4/5;
          b/c =(4·24 − 3·7)/(5·25) = 75/125 =3/5;

то есть это — тройка (4,3,5), которой отвечает угол α + β = 53,13°. Таким образом, после сложения углов получили треугольник (рис.2), который также является пифагоровым.

Несложно доказать, что можно выполнять последовательные сложения углов любое количество раз. Причем сложение углов можно выполнять в произвольном порядке, взаимно меняя левые и правые сомножители в формулах (8).

Если из угла α вычесть его же, то

          a/c =(3·4 − 4·3)/(5·5) = 0/25 = 0;
          b/c =(4·4 + 3·3)/(5·5) = 25/25 = 1/1.

Полученная обобщенная тройка (0,1,1) имеет нулевой угол. Если к любому углу прибавлять нулевой угол, то получим тот самый угол:

                     a ·1      b ·0       a
          a/c = —— + —— = —;
                     c ·1       c ·1       c

                     b ·1      a ·0       b
          b/c = —— + —— = —.
                     c ·1       c ·1       c

Для каждой обобщенной пифагоровой тройки (a,b,c) с углом α всегда можно найти соответствующую тройку (−a,b,c) с отрицательным углом − α. Причем, если сложить эти два угла, то получим тройку с нулевым углом:

                                                ab − ba
          a/c = sin(α+(− α )) = ———— = 0;
                                                     cc
                                                 bb + aa        c²    1
          b/c = cos(α+(− α )) = ———— = — = —.
                                                      cc            c²     1

Складывая вместе сведения о пифагоровых тройках, можно изложить следующие утверждения.

1. Над обобщенными пифагоровыми тройками определена операция (8) сложения углов, или сложения троек, которую можно изобразить как следующую:
   
   (a,b,c) = (a₁,b₁,c₁) (a₂,b₂,c₂),
   
   причем, результатом операции является также пифагорова тройка.
2. Существует тройка с нулевым углом (0,1,1), прибавление которой к любой тройке дает ту же самую тройку: (a,b,c) (0,1,1) = (a,b,c). Это, так званый, нулевой элемент множества пифагоровых троек, или нулевая тройка.
3. Для каждой тройки (a,b,c) найдется тройка с противоположным углом (−a,b,c), прибавление которой дает нулевую тройку: (a,b,c) (−a,b,c) = (0,1,1).
4. Операция сложения является ассоциативной:
   
   ((a₁,b₁,c₁) (a₂,b₂,c₂)) (a₃,b₃,c₃) = (a₁,b₁,c₁) ((a₂,b₂,c₂) (a₃,b₃,c₃));
   
   и комутативной:
   
   (a₁,b₁,c₁) (a₂,b₂,c₂) = (a₂,b₂,c₂) (a₁,b₁,c₁) .

Таким образом, в соответствии с теорией алгебраических систем, вышеприведенные утверждения свидетельствуют, что обобщенные пифагоровы тройки и операция их сложения формируют алгебраическую группу, точнее — абелеву группу. Эту группу можно использовать в практических вычислениях, что рассмотрим ниже.