1. Пифагоровы тройки

Пусть целые числа a и b означают длину катетов, а c — длину гипотенузы. Тогда в соответствии с теоремой Пифагора, a, b и c удовлетворяют диофантовое равенство:

          a² + b² = c²                             (1)

Тройка таких позитивных чисел (a,b,c) называется пифагоровой тройкой. Таким образом, нахождение всех пифагоровых треугольников — это то же самое, что и нахождение всех пифагоровых троек. Действительно, (3,4,5) — это пифагорова тройка. Так как (3n)² +(4n)² = (5n)², то из этого виходит, что (3n,4n,5n) — это также пифагорова тройка для любого позитивного n. Потому существует бесконечное количество пифагоровых троек.

Таким образом, из одной пифагоровой тройки можно сделать любое количество таких троек путём умножения на n. Тройки, у которых элементы являются взаимно простыми числами, как например, (3,4,5), называются примитивными пифагоровыми тройками, потому что остальные тройки можно получить умножением элементов тройки на целые числа.

Если числа a,b,c являются произвольными целыми числами, например, нулевыми или отрицательными, которые отвечают равенству (1), то такая тройка называется обобщенной пифагоровой тройкой.